Question

【題目】已知函數（其中）.

（1）當時，若函數在上單調遞減，求的取值范圍；

（2）當，時，

①求函數的極值；

②設函數圖象上任意一點處的切線為，求在軸上的截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析，②

【解析】

（1）當時，求出導數，分離參數，求出即可；

（2）①時，對進行討論，根據的導數判斷吶喊聲的單調性和極值得出結論；

②設切點為，則曲線在點處的切線方程為，當時，切線沒有截距，否則表示出截距，結合基本不等式求出截距的范圍．

（1）時， 的導函數，

∴由題意知對任意有，即

∴，即.

（2）時， 的導函數，

①(i)當時，有；，

∴函數在單調遞增，單調遞減，

∴函數在取得極大值，沒有極小值.

(ii)當時，有；，

∴函數在單調遞減，單調遞增，

∴函數在取得極小值，沒有極大值.

綜上可知: 當時，函數在取得極大值，沒有極小值；

當時，函數在取得極小值，沒有極大值.

②設切點為，則曲線在點處的切線方程為，

當時，切線的方程為，其在軸上的截距不存在.

當時，

∴令，得切線在軸上的截距為

∴當時，

，

當時，，

∴當切線在軸上的截距范圍是.