Question

【題目】已知數列中，，，，且對時，有．

（Ⅰ）設數列滿足，，證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；

（Ⅱ）記，求數列的前項和．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用已知等式表示出和，整理可知，從而可證得數列為等比數列，根據等比數列通項公式求得；利用配湊的方式可證得數列為等差數列，利用等差數列通項公式，整理可得；（Ⅱ）將代入，整理可得：，利用累乘的方式可求得，進而可得；采用分組求和的方式，分別對用錯位相減的方法求和，對采用裂項相消的方法求和，分別求和后加和即可得到結果.

（Ⅰ）由題意知：

又

數列是以為首項，為公比的等比數列

，即

數列是以為首項，為公差的等差數列

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，即：

則：，，……，

左右兩側分別相乘可得：

令

則

則