Question

8．某闖關游戲有這樣一個環節：該關卡有一道上了鎖的門，要想通過該關卡，要拿到門前密碼箱里的鑰匙，才能開門過關．但是密碼箱需要一個密碼才能打開，并且3次密碼嘗試錯誤，該密碼箱被鎖定，從而闖關失敗．某人到達該關卡時，已經找到了可能打開密碼箱的6個密碼（其中只有一個能打開密碼箱），他決定從中隨機地選擇1個密碼進行嘗試．若密碼正確，則通關成功；否則繼續嘗試，直至密碼箱被鎖定．
（1）求這個人闖關失敗的概率；
（2）設該人嘗試密碼的次數為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）設“密碼箱被鎖定”的事件為A，利用等可能事件概率計算公式能求出這個人闖關失敗的概率．
（2）依題意，X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．

解答 解：（1）設“密碼箱被鎖定”的事件為A
則$P（A）=\frac{5×4×3}{6×5×4}=\frac{1}{2}$．（5分）
（2）依題意，X的可能取值為1，2，3，
則$P（X=1）=\frac{1}{6}$，
$P（X=2）=\frac{5×1}{6×5}=\frac{1}{6}$，
 $P（X=3）=\frac{5×4}{6×5}×1=\frac{2}{3}$，（8分）
所以分布列為：

X	1	2	3
p	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$

所以：$E（X）=1×\frac{1}{6}+2×\frac{1}{6}+3×\frac{2}{3}=\frac{5}{2}$．（12分）

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都必考題型之一．