Question

18．已知λ，μ為常數(shù)，且為正整數(shù)，λ為質(zhì)數(shù)且大于2，無(wú)窮數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意正整數(shù)n，2S_n=λa_n-μ，數(shù)列{a_n}中任意兩不同項(xiàng)的和構(gòu)成集合A．
（1）證明無(wú)窮數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求λ的值；
（2）如果2010∈A，求μ的值；
（3）當(dāng)n≥1，設(shè)集合${B_n}=\{x|5μ•{3^{n-1}}＜x＜5μ•{3^n}，x∈A\}$中元素的個(gè)數(shù)記為b_n，求b_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=λa_n-μ．當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=λa_n-1-μ，可得$\frac{λ}{λ-2}=1+\frac{2}{λ-2}$為正整數(shù)，即可得出正整數(shù)λ．
（2）由（1）可得：S_n=2a_n-μ，可得a_n=μ•2^n-1，因此A={μ（2^i-1+2^j-1）|1≤i＜j，i，j∈N^*}，由于2015∈A，可得2015=μ（2^i-1+2^j-1）=μ•2^i-1（1+2^j-i）=5×13×31，利用2^i-1為偶數(shù)時(shí)，上式不成立，因此必有2^i-1=1，可得i=1，即可得出j，μ．
（3）當(dāng)n≥1時(shí)，集合集合${B_n}=\{x|5μ•{3^{n-1}}＜x＜5μ•{3^n}，x∈A\}$，即即5μ•3^n-1＜μ（3^i-1+3^j-1）＜5μ•3ⁿ，1≤i＜j，i，j∈N^*B_n中元素的個(gè)數(shù)，等價(jià)于滿足5•3ⁿ＜3ⁱ+3^j＜5•3ⁿ⁺¹的不同解（i，j），只有j=n+2才成立，利用5•3ⁿ＜3¹+3ⁿ⁺²＜3²+3ⁿ⁺²＜…＜3ⁿ+3ⁿ⁺²＜3ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²=4•3ⁿ⁺¹＜5•3ⁿ⁺¹，即可得出．（n∈N^*）．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n=λa_n-μ，2S_n-1=λa_n-1-μ，兩式相減得：2a_n=λa_n-λa_n-1（λ為質(zhì)數(shù)且大于2），$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{λ}{λ-2}$，所以{a_n}為等比數(shù)列，又{a_n}各項(xiàng)均為正整數(shù)，則$\frac{λ}{λ-2}=1+\frac{2}{λ-2}$為正整數(shù)，λ為質(zhì)數(shù)，則λ=3
（2）由（1）得：2S_n=3a_n-μ，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=μ，則${a_n}=μ•{3^{n-1}}$
所以A={μ（3^i-1+3^j-1）|1≤i＜j，i，j∈N^*}
如果2010∈A，則2010=μ（3^i-1+3^j-1）=μ3^i-1（1+3^j-i）=2×3×5×67
因?yàn)閖-i＞0，則1+3^j-i必為不小于4的偶數(shù)，則
因1+3^j-i=2×3時(shí)，無(wú)解；因1+3^j-i=2×67時(shí)，無(wú)解；因1+3^j-i=2×3×5，無(wú)解；
因1+3^j-i=2×3×67，無(wú)解；因1+3^j-i=2×5×67，無(wú)解；
因1+3^j-i=2×3×5×67=2010，無(wú)解；
當(dāng)1+3^j-i=2×5⇒j-i=2，μ•3^i-1=201=3×67，
當(dāng)i-1=1時(shí)，μ=67，所以2010=67（3^2-1+3^4-1）∈A
當(dāng)i-1=0時(shí)，μ=201，所以2010=201（3^1-1+3^3-1）∈A
綜上，μ=67或μ=201
（3）當(dāng)n≥1時(shí)，${B_n}=\{x|5μ•{3^{n-1}}＜x＜5μ•{3^n}，x∈A\}$
即5μ•3^n-1＜μ（3^i-1+3^j-1）＜5μ•3ⁿ，1≤i＜j，i，j∈N^*B_n中元素的個(gè)數(shù)，等價(jià)于滿足5•3ⁿ＜3ⁱ+3^j＜5•3ⁿ⁺¹的不同解（i，j）
如果j＞n+2，則3^j+3ⁱ≥3ⁱ+3ⁿ⁺³=3ⁱ+9•3ⁿ⁺¹＞5•3ⁿ⁺¹，矛盾．
如果j＜n+2，則3^j+3ⁱ≤3ⁱ+3ⁿ⁺¹≤3ⁿ+3ⁿ⁺¹≤4•3ⁿ＜5•3ⁿ，矛盾．
從而，j=n+2
又因?yàn)椋?¹+3ⁿ⁺²）-5•3ⁿ=3+4•3ⁿ＞0
所以5•3ⁿ＜3¹+3ⁿ⁺²＜3²+3ⁿ⁺²＜…＜3ⁿ+3ⁿ⁺²＜3ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²=4•3ⁿ⁺¹＜5•3ⁿ⁺¹
即i=1，2，…，n，n+1，共n+1個(gè)不同的解（i，j），即共n+1個(gè)不同x∈B_n，所以${b_n}=n+1（n∈{N^*}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、遞推式的應(yīng)用、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．