Question

19．下列說法之和正確的序號是：②④．
①函數y=log₂（x²-2x-3）的單調增區間為（1，+∞）；
②若扇形的周長是6cm，面積是2cm²，則扇形的中心角的弧度數是1或4；
③函數y=lg（x+1）+lg（x-1）為偶函數；
④若x+$\frac{1}{x}$=2$\sqrt{2}$，則$\frac{1+{x}^{4}}{{x}^{2}}$的值為6．

Answer 1

分析 ①由x²-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1，又函數y=log₂（x²-2x-3）=$lo{g}_{2}[（x-1）^{2}-4]$，可得函數的單調增區間為（3，+∞），即可判斷出正誤；
②設扇形的中心角的弧度數與半徑分別為θ，r，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2r+θr=6}\\{\frac{1}{2}θ•{r}^{2}=2}\end{array}\right.$，解出即可判斷出正誤；
③由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，解得x＞1，可得函數y=lg（x+1）+lg（x-1）的定義域為（1，+∞），關于原點不對稱，即可判斷出奇偶性．
④由x+$\frac{1}{x}$=2$\sqrt{2}$，變形$\frac{1+{x}^{4}}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{{x}^{2}}$+x²=$（x+\frac{1}{x}）^{2}$-2，求出即可判斷出正誤．

解答 解：①由x²-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1，又函數y=log₂（x²-2x-3）=$lo{g}_{2}[（x-1）^{2}-4]$，因此函數的單調增區間為（3，+∞），因此不正確；
②設扇形的中心角的弧度數與半徑分別為θ，r，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2r+θr=6}\\{\frac{1}{2}θ•{r}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{θ=1}\\{r=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{θ=4}\\{r=1}\end{array}\right.$，則扇形的中心角的弧度數是1或4，正確；
③由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，解得x＞1，可得函數y=lg（x+1）+lg（x-1）的定義域為（1，+∞），關于原點不對稱，因此不具有奇偶性，因此不正確；
④若x+$\frac{1}{x}$=2$\sqrt{2}$，則$\frac{1+{x}^{4}}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{{x}^{2}}$+x²=$（x+\frac{1}{x}）^{2}$-2=$（2\sqrt{2}）^{2}$-2=6，因此正確．
綜上可得：值域②④正確．
故答案為：②④．

點評 本題考查了函數的定義域與值域、函數的單調性與奇偶性、不等式的解法與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．