Question

13．某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)xy最大時(shí)，該幾何體的體積為（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{30}}{6}$
• B． $\frac{5\sqrt{30}}{4}$
• C． $\frac{5\sqrt{30}}{2}$
• D． $\frac{5\sqrt{15}}{6}$

Answer 1

分析 三視圖復(fù)原幾何體是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，利用勾股定理，基本不等式，確定xy最大時(shí)AD的值，代入棱錐的體積公式計(jì)算可得．

解答 解：由三視圖得幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖
∴AD⊥BD，AD⊥CD，∴x²-5=25-y²，∴x²+y²=30，
∵2xy≤x²+y²=30，∴xy≤15，當(dāng)x=y=$\sqrt{15}$時(shí)，取“=”，
此時(shí)，AD=$\sqrt{10}$，幾何體的體積V=$\frac{1}{3}×\sqrt{10}×\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{15}=\frac{5\sqrt{30}}{6}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三視圖求體積，考查基本不等式求最值，利用基本不等式求xy最大時(shí)AD的值，是解答本題的關(guān)鍵．