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15.近期受臺風影響給某城市經濟造成極大損失,為挽回經濟損失,某廠家擬舉辦大型促銷活動,經測算,當某產品的促銷費用為x萬元時,其銷售量t萬件滿足t=5-$\frac{2}{x+1}$(其中0≤x≤a2-3a+3,a>0),現假定生產量與銷售量相等,已知生產該產品t萬件還需要投入成本(10+2t)萬元(不含促銷費用)產品的銷售價格定為(4+$\frac{20}{t}$)萬元/萬件.
(1)將該產品的利潤y萬元表示成促銷費用x萬元的函數;
(2)促銷費用投入多少萬元時,廠家利潤最大.

分析 (1)確定該產品售價為2×($\frac{10+2t}{t}$)萬元,y=2×($\frac{10+2t}{t}$)×t-10-2t-x,銷售量t萬件滿足$t=5-\frac{2}{x+1}$代入化簡得該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數;
(2)分類討論,利用基本不等式及函數的單調性,可求廠家的利潤最大.

解答 解:(1)由題知利潤$y=t(4+\frac{20}{t})-(10+2t)-x$,
將$t=5-\frac{2}{x+1}$帶入化簡得:$y=20-x-\frac{4}{x+1}$(0≤x≤a2-3a+3,a>0)
(2)當0<a≤1,a≥2⇒a2-3a+3≥1,$y=20-x-\frac{4}{x+1}=20-(x+1+\frac{4}{x+1}-1)≤20-2\sqrt{(x+1)×\frac{4}{x+1}}+1=17$
當1<a<2⇒a2-3a+3<1,$y=20-x-\frac{4}{x+1}≤17-{a^2}+3a-\frac{4}{{{a^2}-3a+4}}$.
綜上述,當a≥2或0<a≤1時,促銷費用投入1萬元時,廠家的利潤最大;
當1<a<2時,促銷費用投入x=a2-3a+3萬元時,廠家的利潤最大.

點評 本題考查函數模型的選擇與應用,考查基本不等式的運用,確定函數解析式是關鍵.

練習冊系列答案
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