Question

15．近期受臺風影響給某城市經濟造成極大損失，為挽回經濟損失，某廠家擬舉辦大型促銷活動，經測算，當某產品的促銷費用為x萬元時，其銷售量t萬件滿足t=5-$\frac{2}{x+1}$（其中0≤x≤a²-3a+3，a＞0），現假定生產量與銷售量相等，已知生產該產品t萬件還需要投入成本（10+2t）萬元（不含促銷費用）產品的銷售價格定為（4+$\frac{20}{t}$）萬元/萬件．
（1）將該產品的利潤y萬元表示成促銷費用x萬元的函數；
（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大．

Answer 1

分析 （1）確定該產品售價為2×（$\frac{10+2t}{t}$）萬元，y=2×（$\frac{10+2t}{t}$）×t-10-2t-x，銷售量t萬件滿足$t=5-\frac{2}{x+1}$代入化簡得該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；
（2）分類討論，利用基本不等式及函數的單調性，可求廠家的利潤最大．

解答 解：（1）由題知利潤$y=t（4+\frac{20}{t}）-（10+2t）-x$，
將$t=5-\frac{2}{x+1}$帶入化簡得：$y=20-x-\frac{4}{x+1}$（0≤x≤a²-3a+3，a＞0）
（2）當0＜a≤1，a≥2⇒a²-3a+3≥1，$y=20-x-\frac{4}{x+1}=20-（x+1+\frac{4}{x+1}-1）≤20-2\sqrt{（x+1）×\frac{4}{x+1}}+1=17$
當1＜a＜2⇒a²-3a+3＜1，$y=20-x-\frac{4}{x+1}≤17-{a^2}+3a-\frac{4}{{{a^2}-3a+4}}$．
綜上述，當a≥2或0＜a≤1時，促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；
當1＜a＜2時，促銷費用投入x=a²-3a+3萬元時，廠家的利潤最大．

點評 本題考查函數模型的選擇與應用，考查基本不等式的運用，確定函數解析式是關鍵．