Question

6．已知函數f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值及相應的x取值；
（Ⅱ）該函數的圖象可以由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根據二倍角公式、兩角和的正弦公式進行化簡，再由正弦函數的最值可確定答案．
（Ⅱ）由條件利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，可得結論．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x=1+sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
∴當2x+$\frac{π}{4}$=2k$π+\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z時，函數f（x）的最大值為：2+2$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）把y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，可得y=sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象；
再把所得圖象上的點的橫坐標變為原來的$\frac{1}{2}$倍，可得y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象；
再把所得圖象上的點的縱坐標變為原來的$\sqrt{2}$倍，可得y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象．
再把所得圖象沿y軸向上平移2個單位，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2的圖象．

點評 本題主要考查正弦函數的最值和二倍角公式、兩角和的正弦公式的應用．考查對基礎知識的簡單綜合應用．三角函數的公式比較多，要強化記憶．