Question

已知一個(gè)動(dòng)圓與圓C：（x+4）²+y²=100相內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)A（4，0），則動(dòng)圓圓心的軌跡方程

x2

25

+

y2

16

=1

．

Answer 1

分析：設(shè)動(dòng)圓圓心為B，圓B與圓C的切點(diǎn)為D，根據(jù)相內(nèi)切的兩圓性質(zhì)證出|CB|=10-|BD|=10-|BA|，可得|BA|+|BC|=10，
從而得到B的軌跡是以A、C為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念加以計(jì)算，可得所求軌跡方程．

解答：解：設(shè)動(dòng)圓圓心為B，半徑為r，圓B與圓C的切點(diǎn)為D，
∵圓C：（x+4）²+y²=100的圓心為C（-4，0），半徑R=10，
∴由動(dòng)圓B與圓C相內(nèi)切，可得|CB|=R-r=10-|BD|，
∵圓B經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），
∴|BD|=|BA|，得|CB|=10-|BA|，可得|BA|+|BC|=10，
∵|AC|=8＜10，
∴點(diǎn)B的軌跡是以A、C為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，
∴a=5，b²=a²-c²=16，得該橢圓的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
故答案為：

x2

25

+

y2

16

=1

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)圓滿(mǎn)足的條件，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與圓的位置關(guān)系和動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．