Question

6．一個(gè)袋中有10個(gè)大小相同的黑球和白球．已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1 個(gè)白球的概率是$\frac{7}{9}$．
（1）求白球的個(gè)數(shù)；
（2）從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為x，則白球的個(gè)數(shù)為10-x，利用對(duì)立事件的概率值列方程求出x的值；
（2）由題意知隨機(jī)變量X的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為x，則白球的個(gè)數(shù)為10-x，
記兩個(gè)都是黑球得的事件為A，則至少有一個(gè)白球的事件與事件A為對(duì)立事件；
所以p（A）=1-$\frac{7}{9}$=$\frac{{C}_{x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$，
化簡(jiǎn)得x²-x-20=0，
解得x=5或x=-4（不合題意，舍去），
所以白球的個(gè)數(shù)為5；
（2）由題意，隨機(jī)變量X的取值可能為：0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{•C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{•C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}{•C}_{5}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$；
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{5}{12}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率計(jì)算問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，是中檔題．