Question

在一個軸截面是正三角形的圓錐形容器中注入高為h的水，然后將一個鐵球放入這個圓錐形的容器中，若水面恰好和球面相切，求這個鐵球的半徑．

Answer 1

分析：根據水的高度以及圓錐形容器的軸截面為等邊三角形得到水的體積，設出球的半徑表示出球的體積，則根據放球后總體積V′=V_球+V_水，得到關于鐵球R的方程，解出即可．

解答：解：如圖，作出圓錐形容器的軸截面，△ABS為等邊三角形．
∵SG=h，DG=

3

3

h，∴V_水=

π

3

•DG²•SG=

π

9

h³．
設鐵球的半徑為R，
則SO=2R，SF=3R，
在Rt△FSB中，BF=SFtan∠FSB=

3

R，
設放入球之后，球與水共占體積為V′，
則V′=

π

3

•（BF）²•SF=

π

3

（

3

R）²•3R=3πR³，V_球=

4π

3

R³．
依題意，有V′=V_球+V_水，
即3πR³=

4π

3

R³+

π

9

h³，∴R=

3 225

15

h．
答：鐵球的半徑為

3 225

15

h．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及函數模型的選擇與應用的能力．