Question

2．如圖，△ABC內接于直徑為BC的圓O，過點A作圓O的切線交CB的延長線于點P，∠CAB的角平分線AE交BC和圓O于點D、E，且PA=2PB=10．
（1）求$\frac{AC}{AB}$的比值；
（2）求AD•DE的值．

Answer 1

分析 （1）通過說明△ABP～△CAP，然后求解$\frac{AC}{AB}$的比值．
（2）由切割線定理求出PC=20，通過AE為∠CAB的角平分線，求出CD=10，DB=5，通過相交弦定理求解即可．

解答 解：（1）∵PA是圓O的切線，∴∠PAB=∠ACB，
又∠P是公共角，∴△ABP～△CAP，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{PB}=2$．
（2）由切割線定理得：PA²=PB•PC，∴PC=20，
又PB=5，∴BC=15，AE為∠CAB的角平分線，
∵$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB}=2$，∴CD=2DB，CD+DB=15，∴CD=10，DB=5，
又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50．

點評 本題考查三角形相似，切割線定理，交點平分線定理的應用，考查計算能力．