Question

已知a為實數，函數f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍．
（2）若f′（-1）=0，求函數y=f（x）在[-

3

2

，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，求導，令導數等于另，則此方程有解，利用△≥0即可求得a的取值范圍；
（2）把f′（-1）=0，代入f′（x）中，求出a的值，求區間[-

3

2

，1]上的單調性和極值，并和端點函數值比較大小，從而確定函數y=f（x）在[-

3

2

，1]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）f′（x）=2x（x+a）+（x²+1）=3x²+2ax+1，
∵函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，
∴則f′（x）=0有解，
△=（2a）²-4×3≥0，解得a≥

3

或a≤-

3

，
∴a的取值范圍是a≥

3

或a≤-

3

；
（2）∵f′（-1）=0，
∴3-2a+1=0，解得a=2，
∴f′（x）=3x²+4x+1=0，
解得x=-1或x=-

1

3

，
當-

3

2

＜x＜-1時，f′（x）＞0，∴f（x）在（-

3

2

，-1）上單調遞增，
當-1＜x＜-

1

3

時，f′（x）0，∴f（x）在（-1，-

1

3

）上單調遞減，
當-

1

3

＜x＜1時，f′（x）＞0，∴f（x）在（-

1

3

，1）上單調遞增，
所以當x=-1時，f（x）取極大值2，當x=-

1

3

時，f（x）取極小值

50

27

，
而f（-

3

2

）=

13

8

，f（1）=6，
∴函數y=f（x）在[-

3

2

，1]上的最大值和最小值分別為6，

13

8

．

點評：此題是個基礎題．考查導數的幾何意義和利用導數研究函數在閉區間上的最值問題．體現了數形結合和轉化的思想．