Question

（2010•湖北模擬）已知a為實數，函數f(x)=(x2+

3

2

)(x+a)．
（I）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍；
（II）當a=

9

4

時，對任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，則f'（x）=0有實數解，從而可求a的取值范圍；
（II）對任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，可轉化為：對任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式f（x₁）_max-f（x₂）_min≤m恒成立，利用導數可求．

解答：解：（I）∵f(x)=x3+ax+

3

2

x+

3

2

a，∴f′(x)=3x2+2ax+

3

2

∵函數f（x）的圖象上有x軸平行的切線，∴f'（x）=0有實數解∴△=4a2-4×3×

3

2

≥0，∴a2≥

9

2

因此，實數a的取值范圍是(-∞，-

3 2

2

]∪[

3 2

2

，+∞)…（5分）
（II）當a=

9

4

時，f′(x)=3x2+2ax+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)
由f′(x)＞0，得x＜-1或x＞-

1

2

…（6分）
由f′(x)＜0，得-1＜x＜-

1

2

因此，函數f（x）的單調區間為(-∞，-1]，[-

1

2

，+∞)；
單調減區間為[-1，-

1

2

]…（8分）
由此可知f(x)在[-1，-

1

2

]上的最大值為f(-1)=

25

8

，最小值為f(-

1

2

)=

49

16

；
f(x)在[-

1

2

，0]上的最大值為f(0)=

27

8

，最小值為f(-

1

2

)=

49

16

．
∴f(x)在[-1，-

1

2

]上的最大值為f(0)=

27

8

，最小值為f(-

1

2

)=

49

16

．
因此，任意的x₁x₂∈[-1，0]，恒有|f(x1)-f(x2)|≤

27

8

-

49

16

=

5

16

所以m的取值范圍是[

5

16

，+∞)…（12分）

點評：本題的考點是利用導數求函數在閉區間上的最值，主要考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，關鍵是將不等式恒成立問題轉化為最值去解決．