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已知a為實數,函數f(x)=
1
1-ax
,g(x)=(1+ax)ex,記F(x)=f(x)•g(x).
(1)若函數f(x)在點(0,1)處的切線方程為x+y-1=0,求a的值;
(2)若a=1,求函數g(x)的最小值;
(3)當a=-
1
2
時,解不等式F(x)<1.
分析:(1)對f(x)進行求導,根據已知條件函數f(x)在點(0,1)處的切線方程為x+y-1=0,可得f′(0)=-1,可以求出a值;
(2)a=1代入g(x),對其進行求導,得到極值點,利用導數研究函數的單調性問題;
(3)把a=-
1
2
代入f(x)和g(x),從而得到F(x),再代入不等式F(x)<1進行求解;
解答:解:(1)∵函數f(x)=
1
1-ax
,g(x)=(1+ax)ex,可得
f′(x)=
a
(1-ax)2

∵f'(0)=a=-1,
所以a的值為-1;
(2)由g'(x)=ex+(1+x)ex=0得x=-2,
當x<-2時,g'(x)<0,g(x)在(-∞,-2)上單調遞減,
當x>-2時,g'(x)>0,g(x)在(-2,+∞)上單調遞增,
所以函數g(x)的最小值為g(-2)=-e-2
(3)當a=-
1
2
時,F(x)=
1
1+
1
2
x
•(1-
1
2
x)ex<1

(2-x)ex
2+x
-1<0

m(x)=
(2-x)ex
2+x
-1

則m(0)=0,m′(x)=
-x2ex
(2+x)2
<0

所以m(x)的單調遞減區間是(-∞,-2)和(-2,+∞),
而當x<-2時,總有
(2-x)ex
2+x
-1<0
成立,
所以不等式F(x)<1的解集是(-∞,-2)∪(0,+∞).
點評:此題主要考查利用導數研究函數單調性和最值問題,前兩問比較簡單,第三問考查解不等式,不是一元二次不等式,可以根據導數進行求解,是一道中檔題;
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

15、已知a為實數,函數f(x)=ex(x2-ax+a).
(Ⅰ)求f′(0)的值;
(Ⅱ)若a>2,求函數f(x)的單調區間.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知a為實數,函數f(x)=x3+ax2+
3
2
x+
3
2
a

(1)若函數f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍;
(2)若f'(-1)=0,對任意x1,x2∈[-1,0],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,求m的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知a為實數,函數f(x)=(x2+1)(x+a).
(1)若f'(-1)=0,求函數y=f(x)在[-
32
,1]上的最大值和最小值;
(2)若函數f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2010•湖北模擬)已知a為實數,函數f(x)=(x2+
3
2
)(x+a)

(I)若函數f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍;
(II)當a=
9
4
時,對任意x1,x2∈[-1,0],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,試求m的取值范圍.

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同步練習冊答案
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