Question

11．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$
（1）求目標函數z=3x-y的最大值；
（2）若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，求$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）作出不等式組對應的平面區域，利用線性規劃的知識即可得到結論．
（2）目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，推出ab的關系，然后利用基本不等式求$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值．

解答 解：（1）x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$的可行域如圖：
當目標函數z=3x-y經過可行域的A時，取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{8x-y-4=0}\\{y=0}\end{array}\right.$可得A（$\frac{1}{2}$，0），
目標函數z=3x-y的最大值為：$\frac{3}{2}$；
（2）目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，
可知目標函數經過可行域的B時，取得最大值，
$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{8x-y-4=0}\end{array}\right.$可得B（1，4），
此時a+4b=6，
即1=$\frac{a}{6}+\frac{2b}{3}$，
$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（$\frac{a}{6}+\frac{2b}{3}$）=$\frac{1}{6}$+$\frac{8}{3}$+$\frac{2a}{3b}+\frac{2b}{3a}$≥$\frac{17}{6}+2\sqrt{\frac{2a}{3b}×\frac{2b}{3a}}$=$\frac{17}{6}+\frac{8}{6}$=$\frac{25}{6}$．
當且僅當：a=b，a+4b=6時取等號．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵．考查基本不變的是的應用，轉化思想以及計算能力．