Question

11．在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且4S=（a+b）²-c²，則sin（$\frac{π}{4}$+C）等于（　　）

• A． 1
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 利用三角形面積公式表示出S，利用余弦定理表示出cosC，變形后代入已知等式，化簡求出cosC的值，進而求出sinC的值，利用兩角和的正弦函數公式即可計算得解．

解答 解：∵S=$\frac{1}{2}$absinC，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴2S=absinC，a²+b²-c²=2abcosC，
代入已知等式得：4S=a²+b²-c²+2ab，即2absinC=2abcosC+2ab，
∵ab≠0，∴sinC=cosC+1，
∵sin²C+cos²C=1，
∴2cos²C+2cosC=0，解得：cosC=-1（不合題意，舍去），cosC=0，
∴sinC=1，
則sin（$\frac{π}{4}$+C）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinC+cosC）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及同角三角函數間的基本關系，兩角和的正弦函數公式的應用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵，屬于中檔題．