Question

13．已知函數f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax．
（1）當a=2時，求函數f（x）的極值；
（2）若對任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；
（2）求出函數的導數，求出函數f（x）的最大值，最小值，問題等價于對任意a∈（-3，-2），恒有（m+ln3）a-2ln3＞1+2a-（2-a）ln3-$\frac{1}{3}$-6a，即$am＞\frac{2}{3}-4a$，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）
當$a=2時，f（x）=\frac{1}{x}+4x$$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+4=\frac{（2x+1）（2x-1）}{x^2}$，
令f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+4=0，得x₁=$\frac{1}{2}$；x₂=-$\frac{1}{2}$（舍去），
$當0＜x＜\frac{1}{2}時，f'（x）＜0$；$當x＞\frac{1}{2}時，f'（x）＞0$，
所以，函數f（x）的極小值為f（$\frac{1}{2}$）=4，無極大值．   
（2）∵$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=-\frac{（2x-1）（-ax-1）}{x^2}$，
令$f'（x）=0，得x=\frac{1}{2}或x=-\frac{1}{a}$，
∵$a∈（-3，-2）∴-\frac{1}{a}∈（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$，即$-\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$，
∴$當-\frac{1}{a}＜x＜\frac{1}{2}時，f'（x）＞0$；$當0＜x＜-\frac{1}{a}及x＞\frac{1}{2}時，f'（x）＜0$，
∴$f（x）在（\frac{1}{2}，+∞）$上是減少的
因此，f（x）在[1，3]上也是減少的，
∴$f{（x）_{max}}=f（1）=1+2a；f{（x）_{min}}=f（3）=（2-a）ln3+\frac{1}{3}+6a$，
所以，對任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，
恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，
等價于：對任意a∈（-3，-2），
恒有（m+ln3）a-2ln3＞1+2a-（2-a）ln3-$\frac{1}{3}$-6a，
即$am＞\frac{2}{3}-4a$，∴$m＜\frac{2}{3a}-4$，
∵$-\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜-\frac{1}{3}$，
∴$-\frac{13}{3}＜\frac{2}{3a}-4＜-\frac{38}{9}$，
$m∈（{-∞，-\frac{13}{3}}]$

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，考查函數恒成立問題，是一道中檔題．