Question

3．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=2，AD=4，PA⊥底面ABCD，PD與底面ABCD成30°角，E是PD的中點(diǎn)．
（1）點(diǎn)H在AC上且EH⊥AC，求$\overrightarrow{EH}$的坐標(biāo)；
（2）求AE與平面PCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．得到所用點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出H的坐標(biāo)，結(jié)合EH⊥AC即可求得$\overrightarrow{EH}$的坐標(biāo)；
（2）求出向量$\overrightarrow{AE}、\overrightarrow{PC}、\overrightarrow{PD}$的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得平面PCD的一個法向量，由$\overrightarrow{AE}$與平面法向量所成角的余弦值可得AE與平面PCD所成角的正弦值，進(jìn)一步得到余弦值．

解答 解：（1）以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．
則由條件知，A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0）．
由PA⊥底面ABCD，知PD與底面ABCD成30°角．
∴PA=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，則E（0，2，$\frac{2}{\sqrt{3}}$），
∴$\overrightarrow{AC}=（2，2，0）$．
設(shè)H（m，m，0），則$\overrightarrow{EH}=（m，m-2，-\frac{2}{\sqrt{3}}）$．
由EH⊥AC得，2m+2（m-2）+0=0，解得m=1．
∴所求$\overrightarrow{EH}=（1，-1，-\frac{2}{\sqrt{3}}）$；
（2）由（1）得，$\overrightarrow{AE}=（0，2，\frac{2}{\sqrt{3}}）$，而P（0，0，$\frac{4}{\sqrt{3}}$），
∴$\overrightarrow{PC}=（2，2，-\frac{4}{\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{PD}=（0，4，-\frac{4}{\sqrt{3}}）$．
記平面PCD的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則2x+2y-$\frac{4}{\sqrt{3}}z=0$且4y-$\frac{4}{\sqrt{3}}z=0$．
取z=$\sqrt{3}$，得x=y=1，∴$\overrightarrow{n}=（1，1，\sqrt{3}）$．
則cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2+2}{\sqrt{4+\frac{4}{3}}•\sqrt{2+3}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$．
設(shè)AE與平面PCD所成角為θ，則sinθ=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
則所求的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面所稱的角，考查了利用空間向量求線面角，正確建立空間右手系是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．