Question

11．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線y=x相交于M，N兩點，若在橢圓上存在點P，使得直線MP，NP斜率之積為-$\frac{4}{9}$，則橢圓離心率為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 求得直線直線MP，NP的斜率分別為$\frac{y-m}{x-m}$，$\frac{y+m}{x+m}$，則則$\frac{{y}^{2}-{m}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{4}{9}$，M，P是橢圓C上的點，則$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{m}^{2}}{{b}^{2}}=1$，兩式相減可得$\frac{{y}^{2}-{m}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{9}$，利用離心率公式可知：e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，設P（x，y），M（m，m），N（-m，-m），
則直線MP，NP的斜率分別為$\frac{y-m}{x-m}$，$\frac{y+m}{x+m}$，
∵直線MP，NP斜率之積為-$\frac{4}{9}$，即$\frac{y-m}{x-m}$•$\frac{y+m}{x+m}$=-$\frac{4}{9}$，則$\frac{{y}^{2}-{m}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{4}{9}$，
∵M，P是橢圓C上的點，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{m}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
兩式相減可得$\frac{{x}^{2}-{m}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{{y}^{2}-{m}^{2}}{{b}^{2}}$，
∴$\frac{{y}^{2}-{m}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{9}$，
∴橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故選B．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于基礎題．