Question

8．若曲線y=ax²+$\frac{b}{x}$（a，b為常數）過點P（2，-5），且該曲線在點P處的切線與直線2x-7y+3=0垂直，則a+b的值等于-3．

Answer 1

分析 由曲線y=ax²+$\frac{b}{x}$（a，b為常數）過點P（2，-5），且該曲線在點P處的切線與直線2x-7y+3=0垂直，可得y|_x=2=-5，且y′|_x=2=-$\frac{7}{2}$，解方程可得答案．

解答 解：∵直線2x-7y+3=0的斜率k=$\frac{2}{7}$，
∴切線的斜率為-$\frac{7}{2}$，
曲線y=ax²+$\frac{b}{x}$（a，b為常數）過點P（2，-5），且該曲線在點P處的切線與直線2x-7y+3=0垂直，
∴y′=2ax-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+\frac{b}{2}=-5}\\{4a-\frac{b}{4}=-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=-2，
故a+b=-3，
故答案為：-3

點評 本題考查的知識點是利用導數研究曲線上某點切線方程，其中根據已知得到y|_x=2=-5，且y′|_x=2=-$\frac{7}{2}$，是解答的關鍵．