Question

6．已知函數f（x）=x³-2x²+x．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）求導f'（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），判斷導函數的零點；
（2）利用導函數圖形來判斷原函數f（x）的圖象，求出最值；

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）=x³-2x²+x，
∴f'（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），
令f'（x）＞0得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$；
f'（x）＜0得：$\frac{1}{3}＜\\;x\\;＜1$ x＜1，
∴函數f（x）的單調遞增區間為：（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）
函數f（x）的單調遞減區間為（$\frac{1}{3}$，1）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x），f'（x） 的變化情況如下表：

x	（-∞，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值$\frac{4}{27}$	單調遞減	極小值0	單調遞增

∴當x=$\frac{1}{3}$時，f（x）有極大值，且極大值為 f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$．
當x=1時，f（x）有極小值，且極小值為f（1）=0．

點評 本題主要考查了利用導數求函數的單調區間，以及函數的最值問題，屬基礎題；