Question

求證：當0＜x＜

π

2

時，sinx＜x＜tanx．

Answer 1

考點：三角函數線

專題：三角函數的求值

分析：解法一：如圖所示，在單位圓中，|PB|=sinx，

PA

=x，|AQ|=tanx，由于△POA的面積小于扇形POA的面積，扇形POA的面積小于△AOQ的面積，可得|PB|＜

PA

＜|AQ|，化簡可得 sinx＜x＜tanx．
解法二：當0＜x＜

π

2

時，令f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，根據導數的符號可得故f（x）和g（x）在（0，

π

2

）上單調遞增，故f（x）＞0，g（x）＞0，從而得到sinx＜x＜tanx．

解答： 解：解法一：證明：設角x的終邊與單位圓的交點為P，PB⊥x軸，
B為垂足，
單位圓和x軸的正半軸交于點A，AQ⊥x軸，且點Q∈OP，
如圖所示，則|PB|=sinx，

PA

=x，|AQ|=tanx，
由于△POA的面積小于扇形POA的面積，扇形POA的面積小于
△AOQ的面積，
故有

1

2

|OA|•|PB|＜

1

2

PA

•|OA|＜

1

2

|OA|•|AQ|，即|PB|＜

PA

＜|AQ|，即 sinx＜x＜tanx．
解法二：證明：當0＜x＜

π

2

時，令f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，則f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=

1

cos2x

＞0，
故f（x）和g（x）在（0，

π

2

）上單調遞增，故f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=1＞0，
∴x＞tanx，且tanx＞x，∴sinx＜x＜tanx．

點評：本題主要考查三角函數線的定義，利用導數的符號研究函數的單調性，屬于基礎題．