Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分別為斜邊AB上的高和中線，且∠BCD與∠ACD之比為3：1，求證CD=DE．

Answer 1

【答案】分析：欲求證CD=DE，在直角三角形CDE中，只須證明其中一個銳角為45度即可，利用CD、CE分別為斜邊AB上的高和中線可得：“∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB”，再利用∠BCD與∠ACD之比為3：1即可求得∠ECD的大小，從而解決問題．
解答：證明：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B
又∵CE是直角△ABC的斜邊AB上的中線
∴CE=EB
∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB
但∵∠BCD=3∠ACD，
∠ECD=2∠ACD=∠ACB
=×90°=45°，
△EDC為等腰直角三角形
∴CE=DE．
點評：本小題主要考查直角三角形中邊角關系、三角形高和中線等基礎知識，考查運算求解能力、轉化思想．屬于基礎題．