Question

10．下列命題中的真命題是（　　）

• A． ?x₀∈R，使得sinx+cosx=$\frac{3}{2}$
• B． ?x₀∈R，使得$x_0^2-{x_0}+1=0$
• C． ?x∈（0，+∞），e^x＞x+1
• D． ?x∈（0，π），sinx＞cosx

Answer 1

分析 利用三角函數的最值判斷A的正誤；二次方程的根判斷B的正誤；函數的切線與函數的值的關系判斷C的正誤；反例判斷D的正誤．

解答 解：x∈R，sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，∵$\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$，∴?x₀∈R，使得sinx+cosx=$\frac{3}{2}$，不正確；
x₀∈R，$x_0^2-{x_0}+1=0$，對應的函數中因為△=-3＜0，所以方程無解．所以B不正確；
?x∈（0，+∞），e^x＞x+1，因為y=e^x，是增函數，x=0時，函數的切線方程為：y=x+1，所以選項C正確；
?x∈（0，π），sinx＞cosx，顯然x=$\frac{π}{6}$時，不滿足不等式，所以選項D不正確；
故選：C．

點評 本題考查命題的真假的判斷與應用，基本知識的考查．