Question

已知函數f（x）=ax²-ln x．
（1）求函數的單調區間與最值；
（2）當a=1時，函數g（x）=1-

f(x)

x2

，求證：

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

．（其中e為自然對數的底數）

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數單調性的性質,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，利用導數大于0，小于0，分別求函數的單調區間與最值；
（2）通過a=1，利用（1）的結論，求解函數g（x）=1-

f(x)

x2

的導數，利用最值，放縮裂項法求和，即可證明

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

．（其中e為自然對數的底數）

解答： 解：（1）因為f'（x）=

2ax2-1

x

（x＞0），
所以①當a≤0時，f'（x）＜0恒成立，故遞減區間為（0，+∞），無最值；
②當a＞0時，遞增區間為[

2a

2a

，+∞），遞減區間為（0，

2a

2a

），
所以有最小值f（

2a

2a

）=

1

2

[1+ln（2a）].5分
（2）當a=1時，函數g（x）=

lnx

x2

（x＞0），
g'（x）=

1-2lnx

x3

，
函數g（x）在（

e

，+∞）上單調遞減，在（0，

e

）上單調遞增，
所以有g（x）=

lnx

x2

≤g（

e

）=

1

2e

，

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

，且有

lnn

n4

＜

1

2e

•

1

n2

＜

1

2e

•（

1

n-1

-

1

n

），
取x=2，3，…，
則

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

•[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]，
所以

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

•（1-

1

n

）＜

1

2e

.12分．

點評：本題考查函數的導數的綜合應用，裂項法求和，以及函數的最值的應用，考查分析問題解決問題的能力．