Question

12．如圖，莖葉圖記錄了某城市甲、乙兩個觀測點連續(xù)三天觀測到的空氣質量指數（AQI）．乙觀測點記錄中有一個數字模糊無法確認，已知該數是0，1，…，9中隨機的一個數，并在圖中以a表示．
（Ⅰ）求乙觀測點記錄的AQI的平均值超過甲觀測點記錄的AQI的平均值的概率；
（Ⅱ）當a=2時，分別從甲、乙兩觀測點記錄的數據中各隨機抽取一天的觀測值，記這兩觀測值之差的絕對值為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平均數的計算方法，可求a的值；
（Ⅱ）確定甲、乙兩觀測點記錄的數據之差的絕對值X的所有取值為0，1，2，3，4，求出相應的概率，即可求隨機變量X的分布列和數學期望．

解答 解：（Ⅰ）依題意，得：$\frac{1}{3}$（88+92+92）=$\frac{1}{3}$[90+91+（90+a）]，
解得 a=1． …（3分）
（Ⅱ）解：當a=2時，分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，所有可能的成績結果有3×3=9種，它們是：（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92），
則這兩名同學成績之差的絕對值X的所有取值為0，1，2，3，4，
因此P（X=0）=$\frac{2}{9}$，P（X=1）=$\frac{2}{9}$，P（X=2）=$\frac{1}{3}$，P（X=3）=$\frac{1}{9}$，P（X=4）=$\frac{1}{9}$．…（10分）
所以隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$

所以X的數學期望E（X）=0×$\frac{2}{9}$+1×$\frac{2}{9}$+2×$\frac{1}{3}$+3×$\frac{1}{9}$+4×$\frac{1}{9}$=$\frac{5}{3}$． …（12分）

點評 本題以莖葉圖為載體，考查古典概型概率的計算，考查隨機變量X的分布列和數學期望，正確求概率是關鍵．