【題目】設函數
，
.
（1）求函數
的單調區間；
（2）當
時，討論函數與
圖象的交點個數.
【答案】（1）當
時，函數
的單調增區間是
，無單調減區間；當
時，函數的單調增區間是
，單調減區間是
；（2）1個.
【解析】
（1）先求出函數的導數，解關于導函數的不等式，從而求出函數的單調區間；
（2）問題轉化為求函數
的零點個數問題，通過求導，得到函數
的單調區間，求出的極小值，從而求出函數
的零點個數即和
的交點個數.
（1）函數的定義域為，
，
當時，
，所以函數的單調增區間是，無單調減區間；
當時，
；
當
時，
，函數單調遞減；當
時，
，函數單調遞增.
綜上，當時，函數的單調增區間是，無單調減區間；
當時，函數的單調增區間是，單調減區間是.
（2）令
，
，問題等價于求函數的零點個數，
當
時，
，，有唯一零點；
當時，
，
當
時，
，函數為減函數，注意到
，
，所以有唯一零點；
當
時，由
得
或
，由
得
，所以函數在
和
上單調遞減，在
上單調遞增，注意到
，
，
所以有唯一零點；
當
時，由得，
或
，
由得
，
所以函數在
和
單調遞減，在
單調遞增，又
，
所以
，
而，所以有唯一零點.
綜上，函數有唯一零點，即當
時函數與圖象總有一個交點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日
點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：
.
設
，由于
的值很小，因此在近似計算中
，則r的近似值為
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
已知曲線
上的點到點
的距離比它到直線
的距離小2.
（1）求曲線的方程；
（2）曲線在點
處的切線
與
軸交于點
.直線
分別與直線及
軸交于點
，以
為直徑作圓
，過點作圓的切線，切點為
，試探究：當點在曲線上運動（點與原點不重合）時，線段
的長度是否發生變化？證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某鎮有一塊空地
，其中
，
，
.當地鎮政府規劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖
，其中
，
都在邊
上，且
，挖出的泥土堆放在
地帶上形成假山，剩下的
地帶開設兒童游樂場.為安全起見，需在
的周圍安裝防護網.
（1）當
時，求防護網的總長度；
（2）為節省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使的面積最小？最小面積是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是直角梯形，側棱
底面，
垂直于
和
，
為棱
上的點，
，
.
（1）若為棱的中點，求證：
平面
；
（2）當
時，求平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值；
（3）在第（2）問條件下，設點
是線段
上的動點，
與平面所成的角為
，求當
取最大值時點的位置.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖（1），等腰梯形
，
，
，
，
、
分別是
的兩個三等分點.若把等腰梯形沿虛線
、
折起，使得點
和點
重合，記為點
，如圖（2）.
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的左
、
右焦點分別為，點
在橢圓上，且滿足
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設傾斜角為
的直線
與交于
，
兩點，記
的面積為
，求取最大值時直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率；先由計算器給出0到9之間取整數值的隨機數，指定0、1、2表示沒有擊中目標，3、4、5、6、7、8、9表示擊中目標，以4個隨機數為一組，代表射擊4次的結果，經隨機模擬產生了20隨機數：
根據以上數據估計該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為（ ）
A.0.55B.0.6C.0.65D.0.7
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