Question

【題目】已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，離心率為，過作與x軸垂直的直線與橢圓交于P，Q點(diǎn)，若|PQ|=．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)過的直線l的斜率存在且不為0，直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過橢圓左焦點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由，①，，②，又，③，解得即可.

（2）設(shè)A，B，直線l的方程為x=my+2，代入橢圓方程可得，根據(jù)韋達(dá)定理和向量的運(yùn)算即可求出m的值，可得直線方程.

（1）由，①，

∵過作與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，|PQ|=

∴②

又③，

由①②③解得，，c=2，

∴橢圓方程為

（2）設(shè)A，B，

直線l的方程為x=my+2，代入橢圓方程可得，

∴，

∵F（-2，0），

∴，，

∵以AB為直徑的圓過橢圓左焦點(diǎn)，

∴，

∴

解得=23，即

故直線l的方程為