Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 底面， ， ∥， ， ．

（1）求證：平面 平面;

（2）若棱上存在一點，使得二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由∥，推出，再根據平面，推出，從而可證平面 平面；（2）根據題設條件建立以為坐標原點，以， ， 所在射線分別為軸的空間直角坐標系，設，由得出，分別求出平面與平面的一個法向量，再根據二面角的余弦值為，即可求得，從而可得與平面所成角的正弦值．

試題解析：（1）證明： ∥

平面, 平面

平面

平面

平面 平面

（2）解: 以為坐標原點，以， ， 所在射線分別為軸建立空間直角坐標系如圖所示，則,由點C向AB作垂線CH, 則,

∴

∴

設.

∵在棱上，

∴（）

∴

設平面的法向量,

∴, ，取，則，則.

設平面的法向量,

∴， ，取則.

∴

∴， ，解得.

∴，

易知平面的法向量，所以與平面所成角的正弦值.