Question

4．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，A₁B與AB₁交于點D，A₁C與AC₁交于點E．
求證：（1）DE∥平面B₁BCC₁；
（2）平面A₁BC⊥平面A₁ACC₁．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線的性質證明DE∥BC，即可證明DE∥平面B₁BCC₁；
（2）證明BC⊥平面A₁ACC₁，即可證明平面A₁BC⊥平面A₁ACC₁．

解答 證明：（1）由題意，D，E分別為A₁B，A₁C的中點，
∴DE∥BC，
∵DE?平面B₁BCC₁，BC?平面B₁BCC₁，
∴DE∥平面B₁BCC₁；
（2）∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
∵AC⊥BC，AC∩AA₁=A，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面A₁ACC₁．

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．