Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點分別是M、N．正三角形AMN的一邊AN與雙曲線右支交于點B，且

AN

=4

BN

，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A、

  3

  2

  +1
• B、

  13 +1

  3

• C、

  13

  3

  +1
• D、

  3 +1

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先利用已知條件得到三角形AMN的邊長，再結合余弦定理即可

解答：解：因為正三角形AMN，其邊長MN=2c，

AN

=4

BN

，設|

BN

|=m，則|

AN

|=4m=2c，解得m=

c

2

，根據雙曲線的定義可得|

BM

|=2a+m=2a+

c

2

，在三角形AMN中，由余弦定理cos600=

4c2+ c2 4 -(2a+ c 2 )2

2×2c× c 2

=

1

2

，整理得：3e²-2e-4=0，即e=

13 +1

3

，或 e=

- 13 +1

3

（舍去），
故選B．

點評：本題考查雙曲線的性質；余弦定理的應用，基本知識的考查．