Question

已知a為實數，函數f(x)=(x2+

3

2

)(x+a)，若函數f（x）的圖象在某點處存在與x軸平行的切線，則a的取值范圍是（　　）

• A．(-∞，-

  3 2

  2

  )∪[

  2

  ，+∞)
• B．(-∞，-

  2

  ]∪(

  3 2

  2

  ，+∞)
• C．(-∞，-

  3 2

  2

  )
• D．(-∞，-

  3 2

  2

  ]∪[

  3 2

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，則f'（x）=0有實數解，從而可求a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=x3+ax+

3

2

x+

3

2

a，∴f′（x）=3x2+2ax+

3

2

，
∵函數f（x）的圖象上存在與x軸平行的切線，
∴f'（x）=0有實數解，∴△=4a2-4×3×

3

2

≥0，∴a2≥

9

2

，解得a≤-

3 2

2

或a≥

3 2

2

，
因此，實數a的取值范圍是（-∞，-

3 2

2

]∪[

3 2

2

，+∞），
故選D．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，考查轉化思想、函數與方程思想，解決本題的關鍵是把問題轉化為方程f'（x）=0有實數解．