Question

在△ABC中，A、B為銳角且B＜A，sinA=

5

5

，sin2B=

3

5

．
（1）求角C的值；
（2）求證：5cosAcos（A+3B）=2sinB．

Answer 1

考點：三角函數恒等式的證明,解三角形

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形

分析：（1）由已知sinA，sin2B可求cosA，cos2B，利用半角公式可求cosB，從而可得cosC=-cos（A+B），
（2）根據（1）的結論代入證明左邊等于右邊即可．

解答： 解：（1）∵A為銳角，sinA=

5

5

∴cosA=

1- 1 5

=

2

5

--------------（2分）
∵B＜A，sinA=

5

5

＜

2

2

，
∴B＜45°--------------（3分）
∵sin2B=

3

5

，
∴cos2B=

1- 9 25

=

4

5

∴cosB=

1+cos2B 2

=

3

10

，sinB=

1

10

--------------（4分）
cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

2

5

×

3

10

+

1

5

×

1

10

=-

2

2

∴C=135°--------------（6分）
（2）證明：左邊=5cosAcos（π-C+2B）=-5cosAcos（C-2B）=-5cosA[cosCcos2B+sinCsin2B]=-5×

2

5

×（-

2

2

×

4

5

+

2

2

×

3

5

）=

10

5

=2×

1

10

=2sinB=右邊
從而得證．

點評：本題主要考察了三角函數恒等式的證明，解三角形，屬于基本知識的考查．