Question

【題目】如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，E，F分別是棱CC1，AB的中點．

（1）證明：CF∥平面AEB1．

（2）若AC＝BC＝AA1＝4，∠ACB＝90°，求三棱錐B1﹣ECF的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）．

【解析】

（1）取AB1的中點G，連結EG，FG，推導出四邊形FGEC是平行四邊形，從而CF∥EG，由此能證明CF∥平面AEB1．

（2）求出△B1EC的面積，三棱錐F﹣B1CE的高為2，由此能求出三棱錐F﹣B1CE的體積，再利用等體積法求解.

（1）如圖所示：

取AB1的中點G，連結EG，FG，

∵F，G分別是AB，AB1的中點，

∴FG∥EC，FG＝EC，

∴四邊形FGEC是平行四邊形，

∴CF∥EG，

∵CF平面AEB1，EG平面AEB1，

∴CF∥平面AEB1．

（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

∵BC＝AA1＝4，E是CC1的中點，

∴△B1EC的面積為，

∵AC⊥BC，平面ABC平面,平面ABC平面=BC,

∴AC平面,

∵F是AB的中點，

∴三棱錐F﹣B1CE的高為2，

∴三棱錐F﹣B1CE的體積為V．

∵三棱錐B1﹣ECF的體積與三棱錐F﹣B1CE的體積相等，

∴三棱錐B1﹣ECF的體積為.