Question

10．已知F₁，F₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0且a≠b）的兩個焦點，P為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，O為坐標原點．下面四個命題（　　）

• A． △PF₁F₂的內切圓的圓心必在直線x=a上
• B． △PF₁F₂的內切圓的圓心必在直線x=b上
• C． △PF₁F₂的內切圓的圓心必在直線OP上
• D． △PF₁F₂的內切圓必通過點（b，0）

Answer 1

分析 設△PF₁F₂的內切圓分別與PF₁、PF₂切于點A、B，與F₁F₂切于點M，則可知|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，點P在雙曲線右支上，根據雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，因此|F₁M|-|F₂M|=2a，設M點坐標為（x，0），代入即可求得x，判斷A，D正確．

解答 解：設△PF₁F₂的內切圓分別與PF₁、PF₂切于點A、B，與F₁F₂切于點M，
則|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，
又點P在雙曲線右支上，
所以|PF₁|-|PF₂|=2a，故|F₁M|-|F₂M|=2a，而|F₁M|+|F₂M|=2c，
設M點坐標為（x，0），
則由|F₁M|-|F₂M|=2a可得（x+c）-（c-x）=2a
解得x=a，顯然內切圓的圓心與點M的連線垂直于x軸，
故D不正確．
故答案為A．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質．特別是靈活利用了雙曲線的定義．