Question

12．數列{a_n}滿足下列條件：a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，a_n+2=$\frac{{{a_n}+{a_{n+1}}}}{2}$，（n∈N^*）．
（1）設b_n=a_n+1-a_n，求數列{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=b_n•log₂|b_n|，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知有b_n=a_n+1-a_n=a_n+1-（2a_n+2-a_n+1）=2b_n-1，${b_1}={a_2}-{a_1}=-\frac{1}{2}$，由此能證明{b_n}是等比數列，并能求出數列{b_n}的通項公式．
（2）由${c_n}={b_n}•{log_2}|{b_n}|=-n{（{-\frac{1}{2}}）^n}$，利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）∵數列{a_n}滿足下列條件：a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，a_n+2=$\frac{{{a_n}+{a_{n+1}}}}{2}$，（n∈N^*）．
b_n=a_n+1-a_n，
∴由已知有b_n=a_n+1-a_n=a_n+1-（2a_n+2-a_n+1）
=2（a_n+1-a_n+2）=2b_n-1，
又${b_1}={a_2}-{a_1}=-\frac{1}{2}$，
∴{b_n}是首項為$-\frac{1}{2}$，公比為$-\frac{1}{2}$的等比數列，
∴${b_n}={b_1}{q^{n-1}}={（{-\frac{1}{2}}）^n}$．…（6分）
（2）∵c_n=b_n•log₂|b_n|，∴${c_n}={b_n}•{log_2}|{b_n}|=-n{（{-\frac{1}{2}}）^n}$，
即${S_n}=-1•{（{-\frac{1}{2}}）^1}-2•{（{-\frac{1}{2}}）^2}-3•{（{-\frac{1}{2}}）^3}-…-（{n-1}）•{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}-n•{（{-\frac{1}{2}}）^n}$…①
于是$-\frac{1}{2}{S_n}=-1•{（{-\frac{1}{2}}）^2}-2•{（{-\frac{1}{2}}）^3}-3•{（{-\frac{1}{2}}）^4}-…-（{n-1}）•{（{-\frac{1}{2}}）^n}-n•{（{-\frac{1}{2}}）^{n+1}}$…②
①-②，得：$\frac{3}{2}{S_n}=-{（{-\frac{1}{2}}）^1}-{（{-\frac{1}{2}}）^2}-{（{-\frac{1}{2}}）^3}-…-{（{-\frac{1}{2}}）^n}+n•{（{-\frac{1}{2}}）^{n+1}}$
=$\frac{{（{-\frac{1}{2}}）[{1-{{（{-\frac{1}{2}}）}^n}}]}}{{1-（{-\frac{1}{2}}）}}+n•{（{-\frac{1}{2}}）^{n+1}}$
∴${S_n}=\frac{2}{9}[{1-{{（{-\frac{1}{2}}）}^2}}]+\frac{2n}{3}•{（{-\frac{1}{2}}）^{n+1}}$．…（12分）

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．