Question

(本題滿分14分) 若F₁、F₂為雙曲線的左、右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線左支上，M在右準線上，且滿足（Ⅰ）求此雙曲線的離心率；（Ⅱ）若此雙曲線過點，求雙曲線方程；（Ⅲ）設（Ⅱ）中雙曲線的虛軸端點為B₁，B₂（B₁在y軸正半軸上），求B₂作直線AB與雙曲線交于A、B兩點，求時，直線AB的方程.

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）   （Ⅲ）

解：（Ⅰ）由知四邊形PF₁OM為平行四邊形，又由
知為菱形，設半焦距為c，由，
 
（Ⅱ）雙曲線方程為代入，
有即所求雙曲線方程為 
（Ⅲ）依題意得B₁（0，3），B₂（0，－3）.設直線AB的方程為
則由∵雙曲線的漸近線為時，AB與雙曲線只有一個交點，即 

又
直線AB的方程為