Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O圓周上不同于A、B的任意一點，PA⊥平面ABC，點E是線段PB的中點，點M在

AB

上，且MO∥AC．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）求證：平面EOM∥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABC，證出PA⊥BC，由直徑所對的圓周角證出BC⊥AC，再利用線面垂直判定定理，即可證出BC⊥平面PAC．
（2）根據三角形中位線定理證出EO∥PA，從而得到EO∥平面PAC，由MO∥AC證出MO∥平面PAC，再結合面面平行判定定理即可證出平面EOM∥平面PAC．

解答：解：（1）∵點C是以AB為直徑的⊙O圓周上不同于A、B的任意一點，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC．
（2）∵點E是線段PB的中點，點O是線段AB的中點，
∴EO∥PA．
∵PA?平面PAC，EO?平面PAC，∴EO∥平面PAC．
∵MO∥AC，AC?平面PAC，MO?平面PAC，
∴MO∥平面PAC．
∵EO?平面EOM，MO?平面EOM，EO∩MO=O，
∴平面EOM∥平面PAC．

點評：本題給出特殊錐體，求證線面垂直并證明面面平行，著重考查直線與平面垂直的判定、平面與平面平行的判定定理等知識，考查空間想象能力，屬于中檔題．