Question

5．已知△ABC中，點A的坐標為（2sinx，cosx），點B的坐標為（sinx，-2$\sqrt{3}$sinx）（x∈R），f（x）=$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$+m+1（O為坐標原點），求y=f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析 根據平面向量數量積的坐標運算求出f（x），利用三角恒等變換化f（x）為正弦型函數，由此求出f（x）的單調遞增區間．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（2sinx，cosx），$\overrightarrow{OB}$=（sinx，-2$\sqrt{3}$sinx），
∴f（x）=$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$+m+1
=2sin²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx
=2•$\frac{1-cos2x}{2}$-$\sqrt{3}$sin2x+m+1
=-cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+m+2
=-2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x）+m+2
=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+2，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{3}$+2kπ≤2x≤$\frac{4π}{3}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴函數y=f（x）的單調遞增區間是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．

點評 本題考查了平面向量數量積的坐標運算以及三角恒等變換問題，也考查了三角函數的單調性問題，是中檔題．