Question

【題目】已知函數，，．

（1）討論函數的單調性；

（2）若恒成立，，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在單調遞減；（2）的最大值為.

【解析】

（1）對函數進行求導，分和兩種情況利用導數判斷函數的單調性；

（2）恒成立等價于對任意恒成立，結合（1）中的結論，分和兩種情況分別求出函數的最大值，并滿足，據此得到關于的不等式，進而求出的最大值即可.

（1）因為函數，，，

所以，，

當時，在上恒成立，

所以函數在上單調遞增；

當時，令，則，

所以當時，；當時，，

所以函數在上單調遞增，在單調遞減，

綜上可知，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增，在單調遞減.

（2）由題意知，恒成立等價于對任意恒成立，

由（1）知，當時，函數在上單調遞增，

所以當時，顯然不符合題意，故舍去；

當時，函數在上單調遞增，在單調遞減，

所以此時函數的最大值為，即需滿足成立，

所以可得，兩邊同時除以可得，，，

令，則，

所以函數在上單調遞增，上單調遞減，

所以當時，函數有最大值為，即，

故所求的最大值為.