Question

【題目】一幅標準的三角板如圖1中，為直角，，為直角，，且，把與拼齊使兩塊三角板不共面，連結如圖2.

（1）若是的中點，是的中點，求證：平面；

（2）在《九章算術》中，稱四個面都是直角三角形的三棱錐為“鱉臑”，若圖2中，三棱錐的體積為2，則圖2是否為鱉臑？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）是鱉臑，詳見解析.

【解析】

（1）設中點為，連結，，可證、，從而得到平面.

（2）先求出，再根據(jù)體積可得到平面的距離為，結合可得平面，從而可證四個面均為直角三角形.

（1）證明：設中點為，連結，.

∵是的中點，是的中點，∴，

∵，∴，

∵，，，

∴，

∵，

∴平面.

（2）此時三棱錐是鱉臑，

∵，，

又三棱錐的體積，故高.

又∵，所以平面，因為平面，

所以，所以是直角.

同理，.

∵，，，所以平面，

因為平面，故也是直角.

又，顯然是直角，故圖2是鱉臑.