Question

【題目】如圖，已知平面平面，直線平面，且．

（1）求證：DA∥平面；

（2）若，平面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）過點作于點，由已知利用面面垂直的性質可得平面，結合平面，得，再由線面平行的判定可得平面；

（2）由已知證明四邊形是矩形，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，分別求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

（1）證明：過點E作于點，

∵平面平面，又平面平面平面，

∴平面，

又∵平面，∴，

∵平面，平面，

∴平面；

（2）∵平面，∴，

又∵，則，

∴點是的中點，連接，則，

∴平面，則．

∴四邊形是矩形．

以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，

設，則，

設平面的一個法向量為，

∵，

由取，得；

又平面的一個法向量為，

設二面角的平面角為，

，，

二面角是鈍角，則二面的余弦值為．