Question

【題目】已知函數.

（1）求的極值；

（2）若，求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，的極小值為，無極大值；當時，的極小值為，無極大值；（2）.

【解析】

（1）由題可知，，，分類討論和時，利用導函數求出的單調性，進而可求出極值；

（2）因為，所以，構造函數，，求導，分類討論和時的單調性，進而得出的最值，從而得出正實數的取值范圍.

（1）因為，，

①當時，，

若，則，在單調遞減；

若，則，在單調遞增，

所以的極小值為，無極大值；

②當時，，

若，則，在單調遞減；

若，則，所以在單調遞增，

所以的極小值為，無極大值；

綜上所述，當時，的極小值為，無極大值；

當時，的極小值為，無極大值.

（2）由（1）知，當時，在單調遞減，在單調遞增，

所以，所以，

因為，

所以，所以，（*），

令，，

則，

因為，所以，

①若，則，

當時，則，所以在單調遞增，

當時，則，所以在單調遞減，

所以，

又因為，且和都在處取得最值，

所以當，解得，所以，

②若，則，

當時，，在單調遞減；

當時，，在單調遞增；

當時，，在單調遞減，

所以，與（*）矛盾，不符合題意，舍去.

綜上，正實數的取值范圍為.