Question

16．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=
60°，E，F分別是BC，PC的中點．
（1）證明：AE⊥平面PAD；
（2）取AB=2，在線段PD上是否存在點H，使得EH與平面PAD所成最大角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，若存在，請求出H點的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得△ABC為正三角形，由E為BC的中點，得AE⊥BC．可得AE⊥AD．再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AE．由線面垂直的判定得AE⊥平面PAD；
（2）設線段PD上存在一點H，連接AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，可得∠EHA為EH與平面PAD所成的角．可知當AH最短時，即當AH⊥PD時，∠EHA最大，求解直角三角形得答案．

解答 （1）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形，
∵E為BC的中點，∴AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD；
（2）解：設線段PD上存在一點H，連接AH，EH．
由（1）知AE⊥平面PAD，
則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=$\sqrt{3}$，
∴當AH最短時，即當AH⊥PD時，∠EHA最大，
此時$tan∠EHA=\frac{AE}{AH}=\frac{\sqrt{3}}{AH}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，因此AH=$\sqrt{2}$．
∴線段PD上存在點H，
當DH=$\sqrt{2}$時，使得EH與平面PAD所成最大角的正切值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查了直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．