Question

7．某工廠經過市場調查，甲產品的日銷售量P（單位：噸）與銷售價格x（單位：萬元/噸）滿足關系式P=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+17，3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，6＜x≤9}\end{array}\right.$（其中a為常數），已知銷售價格為4萬元/噸時，每天可售出該產品9噸．
（1）求a的值；
（2）若該產品的成本價格為3萬元/噸，當銷售價格為多少時，該產品每天的利潤最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由銷售價格為4萬元/噸時，每日可銷售出該商品9噸，建立方程，即可得到a的值；
（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數為關于x的函數，再用二次函數求得最值，從而得出最大值對應的x值．

解答 解：（1）由題意，x=4，P=9，
由P=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+17，3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，6＜x≤9}\end{array}\right.$（其中a為常數），可得17-4a=9，∴a=2
（2）由（1）可得P=$\left\{\begin{array}{l}{17-2x，3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，6＜x≤9}\end{array}\right.$
設商品所獲得的利潤為y=（x-3）P=$\left\{\begin{array}{l}{（17-2x）（x-3），3＜x6}\\{（\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}）（x-3），6＜x≤9}\end{array}\right.$
當3＜x≤6時，y=（17-2x）（x-3），當且僅當x=6時，取得最大值15；
當6＜x≤9時，y=（x-3）（$\frac{84}{{x}^{2}}$+$\frac{7}{x}$）=-252$（\frac{1}{x}-\frac{1}{8}）^{2}$+$\frac{175}{16}$，
當x=8時，取得最大值$\frac{175}{16}$＜15．
綜上可得x=6時，取得最大值15，即當銷售價格為6萬元/噸時，該產品每天的利潤最大且為15萬元．

點評 本題考查分段函數的解析式的求法，考查函數的最值的求法，注意運用基本不等式和配方結合二次函數的最值求得，屬于中檔題．