Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，，以，，和為頂點的梯形的高為，面積為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設，為橢圓上的任意兩點，若直線與圓相切，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由梯形的高求出，由梯形的面積，建立關于方程，結合關系，即可求出橢圓標準方程；

（2）設直線的方程為：，利用直線與圓相切，得到關系，直線方程與橢圓方程聯立，設，，得出關系，由相交弦長公式，求出關于的函數，根據函數特征，求出其范圍，再由，即可求出結論.

（1）由題意，得，且，

∴，又，解得，．

∴橢圓的方程為．

（2）如圖，設，，

當圓的切線的斜率存在時，設的方程為：，

切點為，連結，則．

因為與圓相切，

所以，所以．

聯立，整理得．

所以，．

又

．

①若時，

．

因為，

當且僅當時，“”成立．

所以

即．

②當時，，所以．

又，

所以．

當圓的切線斜率不存在時，則的方程為或．

此時，的坐標分別為，或，．此時．

綜上，面積的取值范圍為．