Question

【題目】已知定圓：，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且和圓相切.

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線：與軌跡交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）圓的半徑，設(shè)動(dòng)圓的半徑為由，從而圓內(nèi)切于圓，根據(jù)，利用橢圓的定義可得，，從而求出橢圓的方程.

（Ⅱ）將直線與橢圓聯(lián)立消去得到， ，即，設(shè)，，利用韋達(dá)定理求出弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，線段的垂直平分線方程是，將點(diǎn)代入整理可得，代入即可求解.

（Ⅰ）圓的圓心為，半徑.

設(shè)動(dòng)圓的半徑為，依題意有.

由，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，從而圓內(nèi)切于圓，故，

即.

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.

因?yàn)?/span>，，所以.

于是的方程是.

（Ⅱ）設(shè)，，聯(lián)立消去得到，

，即.

則，，

弦中點(diǎn)的坐標(biāo)是.

由，得.

另一個(gè)方面，線段的垂直平分線方程是.

點(diǎn)在此直線上，

得到，整理得.

代入中，，.

又，，所以，.

故實(shí)數(shù)的取值范圍.