Question

19．已知F₁，F₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF₂是銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． $（1，1+\sqrt{2}）$
• C． $（1，\sqrt{3}）$
• D． $（1-\sqrt{2}，1+\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 由過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點可知△ABC為銳角三角形，△ABF₂為銳角三角形只要∠AF₂B為銳角即可，由此可知$\frac{{b}^{2}}{a}$＜2c，從而能夠推導出該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：由題設條件可知△ABF₂為等腰三角形，
若△ABF₂是銳角三角形，
只要∠AF₂B為銳角，
即∠AF₂B＜45°，
即AF₁＜F₁F₂即可；
當x=-c時，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
設A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$＜2c，
即2ac＞c²-a²，
得e²-2e-1＜0
解出e∈（1，1+$\sqrt{2}$），
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用．根據條件得到∠AF₂B＜45°是解決本題的關鍵．