Question

10．已知函數f（x）=lnx．
（Ⅰ）y=kx與f（x）相切，求k的值；
（Ⅱ）證明：當a≥1時，對任意x＞0不等式f（x）≤ax+$\frac{a-1}{x}$-1恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，設出切點坐標，求出k的值即可；
（Ⅱ）問題轉化為ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx≥1恒成立，當a≥1時，記h（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx，根據函數的單調性求出h（x）的最小值，從而證出結論即可．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=lnx，得：f′（x）=$\frac{1}{x}$，
設切點坐標為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=l{nx}_{0}}\\{k=\frac{1}{{x}_{0}}}\\{{y}_{0}={kx}_{0}}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{e}$…..（5分）
（Ⅱ）證明：只需證f（x）-g（x）≥1，
即ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx≥1恒成立，
當a≥1時，記h（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx，
則在（0，+∞）上，h（x）≥1，
h′（x）=$\frac{（ax+a-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，…..（9分）
∵a≥1，x＞0，∴ax+a-1＞0，
x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減；
x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增
∴h（x）_min=h（1）=2a-1，
∵a≥1，∴2a-1≥1，即h（x）≥1恒成立…..（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．